很多剛開始學(xué)材料力學(xué)的朋友都會(huì)在“剪力與彎矩圖”這一節(jié)卡住。圖能看懂、公式能背下來但一到自己動(dòng)手畫要么符號正負(fù)搞反要么突變方向畫錯(cuò)要么彎矩最大值找不準(zhǔn)。這篇內(nèi)容就是圍繞剪力與彎矩圖的完整畫法以及簡單彎曲理論正應(yīng)力、強(qiáng)度校核展開的適合正在啃材料力學(xué)的學(xué)生、備考人以及需要做簡單強(qiáng)度估算的初級工程師。我會(huì)把內(nèi)力分析的底層邏輯、四種畫圖方法、彎曲應(yīng)力公式的來龍去脈、工程校核完整流程以及我在實(shí)踐中反復(fù)踩過的坑一次性講透。1. 先把“圖”這件事想明白內(nèi)力到底是個(gè)啥很多同學(xué)畫不好剪力圖和彎矩圖核心問題不是不會(huì)算而是沒搞明白“內(nèi)力”到底是什么、是怎么被“拿出來”的。1.1 截面法把桿件“切開”看內(nèi)力一根梁在外力作用下保持平衡內(nèi)部各點(diǎn)之間必然存在著相互作用的力這就是內(nèi)力。問題是內(nèi)力看不見摸不著怎么量化它材料力學(xué)給出了一個(gè)非常樸素的方法——截面法。截面法就三步截開、代替、平衡。比如說一根簡支梁跨度4米上面有均布荷載。我想知道距離左端支座1.5米處這個(gè)截面上的內(nèi)力那我就用一個(gè)假想的平面在1.5米處把梁一刀切開。切開之后左邊半段梁還處在原來的外力左支座反力、左邊這1.5米范圍內(nèi)的均布荷載作用下它之所以沒飛出去是因?yàn)橛野攵瘟和ㄟ^截面給它施加了“內(nèi)力”。我用一組未知的力來代替右半段對左半段的作用這組力通常可以合成為一個(gè)豎向力V剪力和一個(gè)力偶M彎矩。然后對左半段列平衡方程豎向力平衡求出V力矩平衡求出M。這就是截面法的全部邏輯。這里面有一個(gè)新手最容易忽略的思維轉(zhuǎn)變你在截面處“補(bǔ)”上去的剪力和彎矩方向是假設(shè)的。你假設(shè)它向上或向下、順時(shí)針或逆時(shí)針求出來如果是負(fù)數(shù)說明實(shí)際方向和你假設(shè)的方向相反。這個(gè)“先假設(shè)正方向、再列方程求解”的思路貫穿材料力學(xué)幾乎所有章節(jié)從拉壓桿的軸力到扭轉(zhuǎn)的扭矩再到彎曲的剪力和彎矩全是一套邏輯。你要是能把這里想通后面學(xué)組合變形、壓桿穩(wěn)定都會(huì)順很多。注意截面法求的是“該截面上的內(nèi)力”不是某一個(gè)點(diǎn)的內(nèi)力。工程上我們關(guān)心內(nèi)力沿梁軸線的分布規(guī)律所以不能一個(gè)一個(gè)截面去切而是要把截面位置設(shè)為變量x建立內(nèi)力關(guān)于x的函數(shù)——這就是剪力方程和彎矩方程。1.2 符號約定別讓正負(fù)號毀掉整張圖剪力、彎矩的正負(fù)號是材料力學(xué)里第一個(gè)讓人抓狂的約定。它和我們平時(shí)理解的“向上為正、逆時(shí)針為正”不一樣必須按“微段變形”來定義。剪力的正負(fù)在梁上取一個(gè)微段dx如果左側(cè)截面上剪力向下、右側(cè)截面上剪力向上也就是這一對剪力有讓微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢這個(gè)剪力就是正剪力。反過來就是負(fù)剪力。彎矩的正負(fù)如果這一對彎矩讓微段向下凹上面受壓、下面受拉也就是“下凸”變形這個(gè)彎矩就是正彎矩。反過來讓微段“上凸”的彎矩是負(fù)彎矩?？梢院唵斡洺伞巴肟诔蠟檎?。為什么這么定義因?yàn)楹竺娈媹D、列微分方程、推彎曲正應(yīng)力公式時(shí)這套符號約定和坐標(biāo)方向是自洽的。如果你自己另搞一套“看著順眼”的符號很可能畫出來的圖形狀沒問題但正負(fù)完全反了到求最大應(yīng)力、判斷拉壓側(cè)的時(shí)候就會(huì)出大錯(cuò)。關(guān)于符號我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)是初學(xué)者列方程時(shí)永遠(yuǎn)先假設(shè)截面上的剪力和彎矩為正方向。也就是截開左段時(shí)截面上的剪力假設(shè)向上對左段而言讓微段順時(shí)針的對應(yīng)方向彎矩假設(shè)為下凸方向。這樣求出來是正就是正、是負(fù)就是負(fù)和約定天然一致不需要每次額外再判斷一次實(shí)際方向。2. 剪力與彎矩圖的幾種畫法我建議你這樣組合用畫內(nèi)力圖的方法有好幾種網(wǎng)上教程各有各的說法。我的建議是別只盯一種而是把“列方程法”和“微分關(guān)系法”配合起來用前者保證你不會(huì)錯(cuò)后者保證你畫得快。2.1 列方程法最笨但最不會(huì)錯(cuò)的方法列方程法的步驟非常機(jī)械先求支座反力然后分段凡是載荷變化的地方都要分段集中力作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、均布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)每一段內(nèi)取一個(gè)任意截面x列剪力方程V(x)和彎矩方程M(x)最后按方程畫圖。這個(gè)方法的好處是每一步都有據(jù)可依不容易出錯(cuò)而且得到的方程在后面求特定截面的內(nèi)力、用積分法求變形時(shí)都能直接用。缺點(diǎn)是計(jì)算量大梁上載荷一多方程要列好幾段容易寫著寫著就漏項(xiàng)。以一根懸臂梁為例自由端受集中力P固定端在左端。很多人一上來就畫圖其實(shí)應(yīng)該先規(guī)定坐標(biāo)x從自由端算起還是從固定端算起。我習(xí)慣從固定端A算起自由端為B。算支座反力固定端有向上的反力P和逆時(shí)針的反力偶PL取整體平衡可得。然后取距A端為x的截面左段上有支座反力P向上和反力偶PL逆時(shí)針列平衡就能得V(x) P水平直線全梁常量M(x) -P(L-x)斜直線在B端為0A端為-PL。這里要注意彎矩方程在不同坐標(biāo)系下形式會(huì)變但圖形形狀和數(shù)值不會(huì)變。你按哪端算都行關(guān)鍵是全梁統(tǒng)一坐標(biāo)系不要一會(huì)兒從左算一會(huì)兒從右算。2.2 微分關(guān)系法快速畫圖的靈魂列方程固然穩(wěn)但如果每題都列方程考試時(shí)間肯定不夠。這時(shí)候就必須用均布載荷集度q(x)、剪力V(x)、彎矩M(x)之間的微分關(guān)系dM/dx VdV/dx -q這里q以向下為正。也就是說彎矩圖在某點(diǎn)的斜率等于該點(diǎn)的剪力剪力圖在某點(diǎn)的斜率等于該處分布載荷集度的負(fù)值。這組微分關(guān)系是畫圖的“加速器”因?yàn)樗苯痈嬖V我們圖形的形狀規(guī)律梁段上的載荷剪力圖彎矩圖無載荷段q0水平直線斜直線均布載荷段q常數(shù)斜直線拋物線線性分布載荷段拋物線三次曲線集中力作用點(diǎn)發(fā)生突變斜率突變出現(xiàn)尖角集中力偶作用點(diǎn)無變化發(fā)生突變這個(gè)表請一定刻在腦子里。它不只是方便更重要的是能幫你檢查錯(cuò)誤。比如你畫出來一段沒有載荷的梁剪力卻是斜線那不用算也知道畫錯(cuò)了——沒有載荷就沒有剪力變化剪力必然是水平線。關(guān)于突變方向從左往右畫圖時(shí)集中力向上剪力圖向上跳集中力向下剪力圖向下跳跳躍量等于力的大小。集中力偶順時(shí)針彎矩圖向上跳逆時(shí)針向下跳跳躍量等于力偶矩的大小?？谠E就是“順上逆下”。2.3 疊加法復(fù)雜載荷的降維打擊工程中很多梁同時(shí)受好幾種載荷比如有集中力還有均布載荷。這時(shí)候如果你還按部就班分段列方程段數(shù)會(huì)非常多。疊加法的思路是把復(fù)雜載荷拆成幾個(gè)簡單載荷分別畫出每個(gè)簡單載荷作用下的彎矩圖然后在同一位置代數(shù)相加就得到總彎矩圖。很多人覺得疊加法只適合算位移其實(shí)畫彎矩圖同樣好用。尤其是反對稱和對稱載荷有時(shí)候根本不用算看圖就能定性地判斷出最大彎矩的位置。疊加法有一個(gè)前提小變形、線彈性。只要材料處在彈性范圍、變形很小內(nèi)力和載荷就是線性關(guān)系疊加就成立。在材料力學(xué)常規(guī)范圍內(nèi)這個(gè)前提基本都滿足。但如果涉及大變形或材料進(jìn)入塑性疊加法就不能隨便用了這一點(diǎn)做工程分析時(shí)要特別注意。2.4 兩個(gè)完整算例手把手畫一遍算例一簡支梁受均布荷載?？缍萀均布荷載q。先求支座反力對稱結(jié)構(gòu)兩個(gè)支座反力各為 qL/2。坐標(biāo)系從左端A開始x處截面V(x)qL/2 - qx這是斜直線從qL/2線性降到-qL/2過零點(diǎn)在xL/2。M(x)qLx/2 - qx2/2這是拋物線在xL/2處取最大值qL2/8兩端為0。畫出來是一個(gè)對稱的拋物線拱形。算例二簡支梁跨中受集中力P。支座反力各為P/2。AC段x從0到L/2VP/2是水平線CB段V-P/2也是水平線。所以剪力圖是“矩形矩形”的臺(tái)階形在C點(diǎn)突變P。彎矩圖AC段是斜直線從0升到PL/4CB段也是斜直線從PL/4降回0。最大彎矩就是PL/4。這兩個(gè)例子是材料力學(xué)里最經(jīng)典的“題庫原型”考試?yán)?0%的梁都可以看成它們的組合。如果你能把這兩個(gè)圖的形狀和最大彎矩公式背熟遇到組合載荷時(shí)再用疊加法基本可以秒殺大多數(shù)題目。注意均布載荷下最大彎矩的位置一定在剪力為零處即跨中集中力下最大彎矩的位置在集中力作用處。這兩個(gè)規(guī)律派生出的一個(gè)重要結(jié)論是最大彎矩點(diǎn)不一定在梁的幾何中點(diǎn)而是在剪力變號的位置。后面求解最大彎矩時(shí)要找的就是V0的點(diǎn)。3. 從內(nèi)力圖到彎曲應(yīng)力公式背后的三句話畫完內(nèi)力圖接下來的問題是知道某個(gè)截面上的彎矩M怎么算出這個(gè)截面上的最大正應(yīng)力這就進(jìn)入“簡單彎曲理論”的核心了。3.1 彎曲正應(yīng)力公式到底怎么來的彎曲正應(yīng)力公式是 σ M·y / I其中y是所求點(diǎn)離中性軸的距離I是截面對中性軸的慣性矩。很多同學(xué)直接背公式但不知道它怎么來的遇到“這個(gè)截面到底哪里受拉、哪里受壓”就懵了。其實(shí)這個(gè)公式推導(dǎo)只需要三句話。第一句話是幾何關(guān)系純彎曲時(shí)梁的橫截面在彎曲后仍保持為平面只是繞某條線轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。這條線叫中性軸中性軸上的纖維既不伸長也不縮短。距離中性軸為y的那一層纖維應(yīng)變?chǔ)? y/ρρ是中性層的曲率半徑。也就是說離中性軸越遠(yuǎn)應(yīng)變越大應(yīng)變成線性分布。第二句話是物理關(guān)系材料在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力等于彈性模量乘應(yīng)變?chǔ)? Eε E·y/ρ。所以正應(yīng)力沿截面高度也是線性分布的中性軸上應(yīng)力為零上下邊緣應(yīng)力最大。第三句話是靜力關(guān)系截面上這些正應(yīng)力合成的合力必須等于零否則軸力不為零于是 ∫σdA 0 推出中性軸必須通過截面形心合力矩必須等于該截面的彎矩M于是 ∫y·σdA M代進(jìn)去得到 M EI/ρ。把ρ消掉就得到 σ M·y/I。這三句話的邏輯鏈條比單獨(dú)背公式重要得多。你只要記住“應(yīng)變線性、應(yīng)力線性、中性軸過形心”整個(gè)公式就活了。遇到T形截面、槽鋼截面或者復(fù)合材料梁都可以用這個(gè)邏輯重新推導(dǎo)不至于死板。在實(shí)際使用中σ M·y/I算出來有正負(fù)號但我們做強(qiáng)度校核時(shí)通常只關(guān)心絕對值大小拉壓方向用“彎矩使哪一側(cè)受拉”來判斷正彎矩使中性軸下方受拉、上方受壓負(fù)彎矩反之。脆性材料的抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)低于抗壓強(qiáng)度所以判斷哪一側(cè)受拉非常關(guān)鍵直接決定是否滿足強(qiáng)度條件。3.2 慣性矩與抗彎截面系數(shù)選截面前先搞明白慣性矩I是截面的一種幾何性質(zhì)它衡量的是“截面材料離中性軸分布得有多遠(yuǎn)”。同樣的截面積材料離中性軸越遠(yuǎn)慣性矩越大抗彎能力越強(qiáng)。這就是為什么工程上常用的梁截面都是工字形、箱形而不是實(shí)心圓——它們把材料盡量放到上下邊緣讓更多材料承擔(dān)高應(yīng)力。常用截面慣性矩和抗彎截面系數(shù)W I / y_max必須記住矩形截面寬b、高h(yuǎn)中性軸為水平對稱軸I bh3/12W bh2/6圓形截面直徑dI πd?/64W πd3/32空心圓截面外徑D內(nèi)徑dαd/DW πD3(1-α?)/32工程中遇到槽鋼、工字鋼查型鋼表就行不用自己積分。但遇到組合截面比如T形截面中性軸不在對稱位置必須先求出整個(gè)截面的形心位置再用平行移軸定理I I_c A·d2其中d是某一塊面積形心到整個(gè)截面中性軸的距離。這一步計(jì)算量不大但最容易出錯(cuò)的是d取錯(cuò)導(dǎo)致慣性矩差好幾倍。我的經(jīng)驗(yàn)是算完先做個(gè)量級檢查矩形截面慣性矩大概在b*h3/12的級別如果算出來比這大好幾個(gè)數(shù)量級回頭檢查一下單位是不是用了毫米卻忘了換算。3.3 強(qiáng)度校核的完整流程與算例有了內(nèi)力圖和截面幾何性質(zhì)彎曲強(qiáng)度校核就是三步走找危險(xiǎn)截面、找危險(xiǎn)點(diǎn)、套強(qiáng)度條件。危險(xiǎn)截面是彎矩絕對值最大的截面有時(shí)還要檢查剪力最大的截面危險(xiǎn)點(diǎn)是截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)強(qiáng)度條件是 σ_max M_max / W ≤ [σ]其中[σ]是許用應(yīng)力。這里有一個(gè)很多初學(xué)者會(huì)漏掉的概念許用應(yīng)力不是材料強(qiáng)度本身而是強(qiáng)度除以安全系數(shù)。塑性材料一般用屈服極限σ_s除以安全系數(shù)脆性材料用強(qiáng)度極限σ_b除以安全系數(shù)。安全系數(shù)取多少取決于載荷預(yù)估的準(zhǔn)確度、材料均勻性、構(gòu)件重要性、失效后果等一般靜載下取1.5到2.5之間。我拿一個(gè)實(shí)際例子帶大家走一遍。一根簡支梁跨度L4m承受均布荷載q10kN/m材料為Q235鋼屈服極限235MPa取安全系數(shù)1.6則許用應(yīng)力 [σ] 235/1.6 ≈ 147MPa。梁的截面是矩形寬度b60mm求最小高度h。第一步求最大彎矩M_max qL2/8 10×16/8 20kN·m 20000N·m。第二步算需要的抗彎截面系數(shù)W ≥ M_max/[σ] 20000/147e6 ≈ 1.36e-4 m3 136 cm3。第三步反算矩形截面高度矩形截面W bh2/6所以 h2 6W/b 6×136e-6 / 0.06 0.0136 m2h ≈ 0.117m 117mm。實(shí)際取h120mm的整數(shù)規(guī)格則W60×1202/6 144000mm3 144cm3滿足要求。順便校核一下剪應(yīng)力均布載荷下支座處剪力最大V_max qL/2 20kN。矩形截面最大剪應(yīng)力約為1.5倍平均剪應(yīng)力τ_max 1.5×20000/(60×120) ≈ 4.17MPa。Q235的許用剪應(yīng)力約0.6倍許用正應(yīng)力也就是88MPa左右遠(yuǎn)大于4.17MPa所以剪應(yīng)力不控制設(shè)計(jì)。這個(gè)例子說明對于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁彎曲正應(yīng)力通常是控制因素剪應(yīng)力驗(yàn)算往往只是走個(gè)過場。但對于跨度小、截面高而短粗的梁剪應(yīng)力就可能成為控制因素必須專門驗(yàn)算。注意上面這個(gè)例子中梁的自重沒有考慮。工程實(shí)踐中梁的自重也是均布荷載的一部分如果梁比較重要把自重荷載加上去再算一遍。這一點(diǎn)在做鋼結(jié)構(gòu)、木結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)尤其重要否則實(shí)際應(yīng)力可能超限10%以上。4. 實(shí)際工程中最容易翻車的幾個(gè)點(diǎn)畫圖、套公式大家都會(huì)但我在實(shí)際做項(xiàng)目、帶新人時(shí)反復(fù)看到下面幾個(gè)錯(cuò)誤每個(gè)都是實(shí)打?qū)嵅冗^的坑。4.1 支座反力算錯(cuò)后面全白搭內(nèi)力圖的起點(diǎn)就是支座反力。反力錯(cuò)了后面無論畫圖還是算應(yīng)力全是錯(cuò)的。最常見的錯(cuò)誤是求反力時(shí)力矩方程里漏掉某個(gè)力偶或者符號搞錯(cuò)。比如簡支梁上有集中力偶時(shí)很多人算支反力時(shí)把它忽略了因?yàn)椤傲ε紝ωQ向力沒有貢獻(xiàn)”是對的但力偶對支座反力有貢獻(xiàn)它改變了支座的受力分配。力偶在求矩方程里是必須計(jì)入的它會(huì)改變兩個(gè)支座反力的大小和方向只是不改變總的豎向力合力。另一個(gè)常見問題是懸臂梁固定端的反力偶方向搞反。記住固定端要給梁一個(gè)“抵抗彎曲”的力偶方向與外力偶相反。畫圖的時(shí)候從自由端往固定端畫會(huì)容易很多——因?yàn)樽杂啥说募袅蛷澗赝ǔ６际且阎牡扔谠撎幍耐廨d荷從自由端起步不用先求固定端反力而且方向不容易錯(cuò)。4.2 集中力偶附近的彎矩突變方向集中力偶在剪力圖上看不出任何變化但在彎矩圖上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)垂直突變。方向判斷有口訣“順上逆下”但很多人記反了。我推薦一個(gè)不容易錯(cuò)的驗(yàn)證方法取集中力偶左右兩側(cè)分別算一下彎矩值差值必然等于外加力偶矩。比如某截面左側(cè)彎矩是-5kN·m有一個(gè)順時(shí)針10kN·m的力偶右側(cè)彎矩就變成5kN·m。你自己算一遍方向自然就清楚了。這個(gè)方法不需要背口訣只需要在突變截面兩側(cè)各取一個(gè)截面列平衡方程?？荚嚂r(shí)雖然多花幾步但不會(huì)錯(cuò)。還有一點(diǎn)集中力偶作用處彎矩圖是斷開的但剪力圖中力偶處是連續(xù)的。如果你畫的剪力圖在力偶處出現(xiàn)臺(tái)階那一定是把力偶誤當(dāng)成了集中力。4.3 最大彎矩到底在哪剪力為零處和力偶處都要看很多教材會(huì)告訴你“最大彎矩出現(xiàn)在剪力為零處”這句話不完整。準(zhǔn)確說法是對于沒有集中力偶的梁段彎矩的極值出現(xiàn)在剪力為零處但如果梁上有集中力偶最大彎矩還可能出現(xiàn)在集中力偶所在截面哪怕該截面剪力不為零。我做項(xiàng)目時(shí)見過一個(gè)典型的例子梁上同時(shí)有均布荷載和集中力偶集中力偶正好在支座附近按V0找出的跨中最大彎矩是100kN·m但集中力偶處彎矩因?yàn)橥蛔冎苯犹?30kN·m。當(dāng)時(shí)設(shè)計(jì)人員只校核了跨中截面結(jié)果力偶作用處應(yīng)力超標(biāo)。所以正確做法是把所有V0處的彎矩、所有集中力偶處的突變后彎矩、以及梁端彎矩統(tǒng)統(tǒng)列出來比大小才能確定真正的M_max。4.4 我個(gè)人的畫圖檢查清單最后分享一份我常年用的檢查清單畫完圖之后逐條核對能擋住九成低級錯(cuò)誤支反力是否代回整體平衡方程驗(yàn)證過ΣFy0和ΣM0是否都滿足剪力圖在集中力處是否有突變突變方向與集中力方向是否一致突變值是否等于集中力彎矩圖在集中力偶處是否有突變突變值是否等于力偶矩“順上逆下”方向是否正確無荷載段剪力圖是否水平均布荷載段剪力圖是否斜直線彎矩圖斜率是否等于剪力值可以抽查一兩個(gè)截面彎矩圖在某點(diǎn)的斜率應(yīng)該等于該點(diǎn)的剪力數(shù)值。簡支梁兩端彎矩是否為0懸臂梁自由端剪力和彎矩是否為0均布荷載下彎矩圖是否為二次拋物線集中力下彎矩圖是否為折線全梁彎矩最大值是否考慮了集中力偶處的突變值這套清單看著繁瑣實(shí)際上熟練之后掃一眼就能檢查完但我建議你在初學(xué)階段每次都老老實(shí)實(shí)走一遍。我在帶新人時(shí)發(fā)現(xiàn)凡是堅(jiān)持這樣自查的人畫圖錯(cuò)誤率會(huì)大幅下降而且對內(nèi)力分布的理解會(huì)明顯更深。最后再分享一個(gè)我個(gè)人很受用的心得畫內(nèi)力圖時(shí)不要把它當(dāng)成一道“畫圖題”而是當(dāng)成一幅“受力地圖”來看。剪力圖告訴你梁上每個(gè)截面的剪切趨勢彎矩圖告訴你每個(gè)截面的彎曲程度。當(dāng)你看到某個(gè)截面彎矩最大腦子里應(yīng)該立刻浮現(xiàn)出這個(gè)截面上下邊緣纖維的受拉受壓狀態(tài)、可能出現(xiàn)的裂紋走向、以及如果要加固應(yīng)該把材料加在哪里。有了這層“畫面感”材料力學(xué)才算真正入門后面學(xué)組合變形、壓桿穩(wěn)定、能量法都會(huì)輕松很多。