簡(jiǎn)介這份資源圍繞中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)展開(kāi)面向數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)者、參賽選手及人口研究入門(mén)者重點(diǎn)解決如何用Logistic阻滯增長(zhǎng)模型與Leslie年齡結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行中短期和長(zhǎng)期人口趨勢(shì)預(yù)測(cè)的問(wèn)題。壓縮包內(nèi)共1個(gè)doc文檔約988KB完整收錄了模型建立、參數(shù)估計(jì)、殘差分析與優(yōu)缺點(diǎn)評(píng)價(jià)等核心內(nèi)容并借助MATLAB完成數(shù)據(jù)處理與預(yù)測(cè)計(jì)算。文檔中詳細(xì)對(duì)比了1954年、1963年、1980年至2005年三組數(shù)據(jù)建模的效果指出以1980—2005年數(shù)據(jù)擬合的可決系數(shù)達(dá)0.9987并給出2010年、2020年、2033年總?cè)丝陬A(yù)測(cè)值Leslie模型部分則預(yù)測(cè)了2002—2050年總?cè)丝凇趧?dòng)年齡人口與老年人口分析了老齡化加速、人口撫養(yǎng)比上升及育齡婦女人數(shù)變化等指標(biāo)。目前已有5152人學(xué)習(xí)下載適合需要參考完整建模思路、指標(biāo)預(yù)測(cè)方法與MATLAB實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)的讀者。1. Leslie人口增長(zhǎng)模型從年齡結(jié)構(gòu)到長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的那條主線人口預(yù)測(cè)這件事很多人第一反應(yīng)是拿歷史總?cè)丝跀M合一條曲線外推。做過(guò)幾年數(shù)據(jù)的人都知道這種玩法在短期還行一旦拉到二三十年尺度就會(huì)翻車(chē)——因?yàn)樗讶丝谧詈诵牡臇|西丟掉了年齡結(jié)構(gòu)。同樣是一億人一半是兒童和一半是勞動(dòng)年齡人口未來(lái)二十年的走向完全相反。Leslie人口增長(zhǎng)模型解決的正是這個(gè)問(wèn)題它把人口按年齡分組用生育率和存活率構(gòu)造一個(gè)矩陣逐年迭代就能推出年齡結(jié)構(gòu)和總量的演化。它屬于離散時(shí)間的矩陣人口學(xué)模型和Logistic那種只盯總量、靠環(huán)境容量約束的連續(xù)模型是兩條路子。這篇面向的是想用MATLAB把Leslie模型真正跑起來(lái)的人需要什么數(shù)據(jù)、矩陣怎么填、參數(shù)從哪來(lái)、結(jié)果怎么讀、哪里最容易出錯(cuò)。新手能照著復(fù)現(xiàn)熟手能對(duì)著參數(shù)和邊界挑刺。2. Leslie矩陣的構(gòu)造邏輯與數(shù)據(jù)準(zhǔn)備2.1 為什么是矩陣而不是一條擬合曲線Leslie模型的核心假設(shè)很樸素把人口按等長(zhǎng)的年齡區(qū)間切成若干組比如每5歲一組0-4、5-9、……、直到最高年齡組。每個(gè)年齡組的女性人數(shù)構(gòu)成一個(gè)列向量記為 $n_t$。下一時(shí)刻的向量 $n_{t1}$ 由當(dāng)前向量左乘一個(gè)矩陣 $L$ 得到$$n_{t1} L \cdot n_t$$這個(gè) $L$ 就是Leslie矩陣它的結(jié)構(gòu)分兩部分。主對(duì)角線下方的那條次對(duì)角線放的是各年齡組的存活率 $s_i$含義是第 $i$ 組的女性活到第 $i1$ 組的比例第一行放的是各年齡組的生育率 $f_i$含義是第 $i$ 組女性在單位時(shí)間內(nèi)生育并存活到第0組的女兒數(shù)。矩陣長(zhǎng)這樣以 $k$ 個(gè)年齡組為例L [ f_0 f_1 f_2 ... f_{k-1} ] [ s_0 0 0 ... 0 ] [ 0 s_1 0 ... 0 ] [ 0 0 s_2 ... 0 ] [ ... ... ... ... ... ] [ 0 0 0 ... 0 ]為什么用女性而不是總?cè)丝谝驗(yàn)樯袨橛捎g女性決定用女性單性別建模能把生育率定義得干凈避免兩性數(shù)據(jù)口徑打架。這是人口學(xué)里的通行做法不是偷懶。選它而不是Logistic的理由也很直接Logistic給不出年齡結(jié)構(gòu)做不了學(xué)齡人口、勞動(dòng)力、老齡化的分年齡預(yù)測(cè)而這些恰恰是政策場(chǎng)景真正關(guān)心的。2.2 數(shù)據(jù)從哪來(lái)怎么對(duì)齊年齡組跑Leslie模型最少需要三類(lèi)數(shù)據(jù)分年齡組的女性人口、分年齡組的女性存活率、分年齡組的女性生育率。常見(jiàn)來(lái)源是人口普查或統(tǒng)計(jì)年鑒的分年齡表通常按5歲分組。這里第一個(gè)坑就是年齡組的對(duì)齊——普查數(shù)據(jù)的分組邊界、你建模用的分組邊界、生育率數(shù)據(jù)的分組邊界三者必須完全一致否則矩陣填進(jìn)去就是錯(cuò)的。我一般會(huì)先把原始數(shù)據(jù)整理成三張表用MATLAB的table讀進(jìn)來(lái)再做一次顯式的對(duì)齊檢查。下面是一個(gè)最小可跑的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備腳本假設(shè)你已經(jīng)有分年齡女性人口pop_f、存活率surv、生育率fert三個(gè)列向量長(zhǎng)度都是k% 年齡組參數(shù)每5歲一組從0歲到100共21組 k 21; age_edges 0:5:105; % 分組邊界長(zhǎng)度 k1 % 假設(shè)從外部讀入這里用占位數(shù)據(jù)演示結(jié)構(gòu) pop_f rand(k,1) * 1e5; % 各年齡組女性人口 surv 0.98 * ones(k,1); % 各年齡組存活率最后一組通常置0 fert zeros(k,1); % 各年齡組女性生育率 fert(4:8) [0.02 0.08 0.10 0.07 0.03]; % 15-19到35-39歲育齡段示例 % 對(duì)齊檢查三個(gè)向量長(zhǎng)度必須一致 assert(numel(pop_f)k numel(surv)k numel(fert)k, ... 年齡組數(shù)不一致檢查分組邊界); % 存活率最后一組無(wú)法存活到下一組強(qiáng)制置0 surv(end) 0;這段代碼的關(guān)鍵不在計(jì)算而在那個(gè)assert。血淚經(jīng)驗(yàn)是數(shù)據(jù)來(lái)源一多長(zhǎng)度對(duì)不上是最高頻的低級(jí)錯(cuò)誤早檢查早省事。age_edges的長(zhǎng)度必須是k1因?yàn)樗沁吔绮皇墙M數(shù)很多人在這里差一位。生育率只填育齡段其余為0這是模型定義決定的不是可選項(xiàng)。2.3 生育率與存活率的換算口徑原始數(shù)據(jù)里的生育率往往是總和生育率或分年齡生育率單位是「每個(gè)女性一生生育的孩子數(shù)」或「千分比」而Leslie矩陣第一行要的是「每個(gè)女性單位時(shí)間生育的女兒數(shù)」。換算要過(guò)兩道一是除以2假設(shè)性別比接近1只取女兒二是按時(shí)間步長(zhǎng)縮放。如果時(shí)間步是5年而生育率是年度的就要乘以5。存活率同理。普查給的通常是某年齡組的存活比例如果時(shí)間步是5年直接用即可如果時(shí)間步是1年就要把5年存活率開(kāi)5次方近似成年存活率。這個(gè)換算不做迭代幾輪后總量會(huì)明顯偏離而且偏離方向還不直觀屬于典型的玄學(xué)偏差。提示性別比明顯偏離1的地區(qū)女兒比例不要簡(jiǎn)單除以2用出生性別比單獨(dú)算否則長(zhǎng)期預(yù)測(cè)會(huì)系統(tǒng)性偏高或偏低。3. 用MATLAB把Leslie模型跑起來(lái)3.1 構(gòu)造矩陣與逐年迭代的最小實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)齊了構(gòu)造矩陣就是填兩個(gè)位置。下面這段是完整的迭代核心輸入是初始女性人口向量和三個(gè)參數(shù)向量輸出是每年每步的總?cè)丝诤湍挲g結(jié)構(gòu)function [N_total, N_hist] leslie_run(pop_f, surv, fert, steps) % pop_f : k×1 初始各年齡組女性人口 % surv : k×1 各年齡組存活率 % fert : k×1 各年齡組生育率 % steps : 迭代步數(shù) k numel(pop_f); L zeros(k, k); L(1, :) fert(:); % 第一行生育率 for i 1:k-1 L(i1, i) surv(i); % 次對(duì)角線存活率 end N_hist zeros(k, steps1); N_hist(:,1) pop_f(:); for t 1:steps N_hist(:, t1) L * N_hist(:, t); end N_total sum(N_hist, 1); % 每步女性總?cè)丝?end邏輯說(shuō)明L(1,:)一次性把生育率鋪到第一行for循環(huán)把存活率放到次對(duì)角線這是Leslie矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)。迭代部分就是反復(fù)左乘沒(méi)有別的花樣。N_hist存的是每一步的完整年齡結(jié)構(gòu)不只是總量——這一點(diǎn)很重要因?yàn)長(zhǎng)eslie模型的價(jià)值恰恰在結(jié)構(gòu)只存總量等于白跑。參數(shù)說(shuō)明steps是迭代步數(shù)如果時(shí)間步是5年steps10就是預(yù)測(cè)50年。surv的最后一組在上一節(jié)已經(jīng)置0所以矩陣最后一行全0意味著最高年齡組的人下一步全部退出這是合理的封閉人口假設(shè)。3.2 主特征值與長(zhǎng)期趨勢(shì)的讀法Leslie矩陣有個(gè)漂亮的性質(zhì)當(dāng)?shù)綌?shù)足夠多人口結(jié)構(gòu)會(huì)收斂到一個(gè)穩(wěn)定的年齡分布總量按矩陣的主特征值 $\lambda_1$ 等比增長(zhǎng)。$\lambda_1 1$ 長(zhǎng)期增長(zhǎng)$1$ 長(zhǎng)期衰減$1$ 穩(wěn)定。這個(gè)特征值就是長(zhǎng)期增長(zhǎng)率對(duì)應(yīng)的特征向量就是穩(wěn)定年齡結(jié)構(gòu)。[V, D] eig(L); lambda diag(D); [lambda_max, idx] max(real(lambda)); stable_struct real(V(:, idx)); stable_struct stable_struct / sum(stable_struct); % 歸一化為比例 fprintf(主特征值 lambda1 %.4f\n, lambda_max); fprintf(長(zhǎng)期年增長(zhǎng)率約 %.2f%%\n, (lambda_max^(1/5)-1)*100); % 步長(zhǎng)5年換算這里有個(gè)容易忽略的點(diǎn)eig返回的特征值可能是復(fù)數(shù)取實(shí)部再找最大是常規(guī)操作因?yàn)長(zhǎng)eslie矩陣是非負(fù)矩陣由Perron-Frobenius定理主特征值一定是正實(shí)數(shù)。換算年增長(zhǎng)率時(shí)如果步長(zhǎng)是5年要開(kāi)5次方再減1直接拿 $\lambda_1-1$ 當(dāng)年度增長(zhǎng)率是錯(cuò)的會(huì)高估好幾倍。3.3 結(jié)果可視化與結(jié)構(gòu)演化光看總量曲線不夠Leslie模型最該看的是年齡結(jié)構(gòu)怎么隨時(shí)間變形。我一般畫(huà)兩張圖一張總量隨時(shí)間的曲線一張用熱力圖或堆疊面積圖展示各年齡組占比的演化。figure; subplot(1,2,1); plot(0:steps, N_total, LineWidth, 1.5); xlabel(時(shí)間步每步5年); ylabel(女性總?cè)丝?; title(總量演化); grid on; subplot(1,2,2); prop N_hist ./ sum(N_hist, 1); % 各年齡組占比 imagesc(prop); colorbar; xlabel(時(shí)間步); ylabel(年齡組); title(年齡結(jié)構(gòu)演化);prop那一步是逐列歸一化得到每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上各年齡組的占比。熱力圖能一眼看出老齡化是不是在加劇、育齡段占比是不是在萎縮。這比單看總量有信息量得多也是Leslie相對(duì)Logistic的核心優(yōu)勢(shì)所在。4. 參數(shù)敏感性、情景對(duì)比與常見(jiàn)誤用4.1 生育率假設(shè)怎么設(shè)才不拍腦袋Leslie模型最容易被質(zhì)疑的就是生育率假設(shè)——它直接決定長(zhǎng)期結(jié)果而未來(lái)生育率誰(shuí)也說(shuō)不準(zhǔn)。穩(wěn)妥做法是不設(shè)單一情景而是設(shè)高、中、低三檔跑出包絡(luò)區(qū)間。中檔可以取當(dāng)前水平或略降高檔假設(shè)政策激勵(lì)見(jiàn)效回升低檔假設(shè)繼續(xù)下滑。三檔跑完結(jié)論表述成「在低方案下2050年總量為X高方案為Y」而不是給一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。fert_low fert * 0.7; fert_mid fert; fert_high fert * 1.3; [~, ~, N_low] deal(0); % 占位實(shí)際調(diào)用 leslie_run [Nt_low, ~] leslie_run(pop_f, surv, fert_low, steps); [Nt_mid, ~] leslie_run(pop_f, surv, fert_mid, steps); [Nt_high, ~] leslie_run(pop_f, surv, fert_high, steps); plot(0:steps, Nt_low, --, 0:steps, Nt_mid, -, 0:steps, Nt_high, --); legend(低方案,中方案,高方案);三檔的倍數(shù)不是隨便定的要結(jié)合歷史波動(dòng)幅度。如果過(guò)去二十年生育率波動(dòng)在正負(fù)30%以內(nèi)那用0.7和1.3就是合理的包絡(luò)如果波動(dòng)更大包絡(luò)要相應(yīng)放寬。這一步的嚴(yán)謹(jǐn)程度直接決定結(jié)論可信度。4.2 存活率隨時(shí)間的改進(jìn)要不要建模很多入門(mén)實(shí)現(xiàn)把存活率當(dāng)成常數(shù)跑幾十年不變。這在短期可以長(zhǎng)期會(huì)低估壽命改善帶來(lái)的老年人口累積。常見(jiàn)做法是給存活率加一個(gè)隨時(shí)間緩慢上升的改進(jìn)因子比如每年提升0.1%到0.3%或者直接引用權(quán)威機(jī)構(gòu)的分年齡死亡率預(yù)測(cè)。加改進(jìn)因子后矩陣每步都要重建不能再用一個(gè)固定 $L$ 迭代到底。surv_t surv; for t 1:steps surv_t min(surv_t * 1.002, 0.999); % 每年存活率改進(jìn)0.2% L build_leslie(fert, surv_t); % 每步重建矩陣 N_hist(:, t1) L * N_hist(:, t); endmin(..., 0.999)是防止存活率被改進(jìn)到超過(guò)1這種物理上不可能的值。這個(gè)細(xì)節(jié)不注意跑幾十步后會(huì)出現(xiàn)存活率大于1的荒謬結(jié)果然后總量爆炸排查起來(lái)很費(fèi)時(shí)間。4.3 和Logistic混用的邊界在哪有人會(huì)想能不能把Leslie和Logistic結(jié)合用Logistic的環(huán)境容量去約束Leslie的總量可以但要清楚代價(jià)。Leslie本身是線性模型不含密度制約長(zhǎng)期要么指數(shù)增長(zhǎng)要么指數(shù)衰減。加容量約束相當(dāng)于在每步迭代后按Logistic方式壓縮總量這會(huì)破壞年齡結(jié)構(gòu)的自洽性——壓縮是均勻施加還是按年齡加權(quán)結(jié)果差別很大而且沒(méi)有公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)。我的建議是如果研究期在二三十年以內(nèi)純Leslie夠用如果非要引入容量明確寫(xiě)出壓縮規(guī)則并做敏感性分析別默認(rèn)它無(wú)害。5. 避坑與排查L(zhǎng)eslie模型跑出來(lái)不對(duì)勁時(shí)先看這幾條5.1 總量第一步就跳變現(xiàn)象初始向量代進(jìn)去第一步總量就和初始值差很多。原因生育率或存活率的單位口徑和步長(zhǎng)不匹配比如年度生育率沒(méi)乘步長(zhǎng)或者存活率用了千分比沒(méi)除以1000。解決把L打印出來(lái)逐行核對(duì)第一行的量級(jí)和次對(duì)角線的取值范圍存活率必須在0到1之間生育率量級(jí)要和人口數(shù)匹配。5.2 迭代若干步后出現(xiàn)負(fù)數(shù)或NaN現(xiàn)象跑著跑著人口出現(xiàn)負(fù)值或NaN。原因存活率被改進(jìn)因子推過(guò)1或者生育率里混入了負(fù)值或者初始向量里有NaN沒(méi)清理。解決迭代前加assert(all(surv0 surv1))和assert(all(fert0))把非法值擋在門(mén)外比事后排查省事得多。5.3 主特征值和總量曲線對(duì)不上現(xiàn)象算出來(lái)的 $\lambda_1$ 大于1但總量曲線卻在下降。原因多半是迭代步數(shù)太少還沒(méi)進(jìn)入主特征值主導(dǎo)的穩(wěn)定段前期的結(jié)構(gòu)瞬態(tài)還在起作用。解決把步數(shù)拉長(zhǎng)到50步以上再看趨勢(shì)或者直接看最后若干步的比值是否收斂到 $\lambda_1$。5.4 年齡結(jié)構(gòu)占比之和不為1現(xiàn)象歸一化后的年齡結(jié)構(gòu)加起來(lái)不是1。原因N_hist某列全為0導(dǎo)致除零或者歸一化時(shí)用了錯(cuò)誤的維度。解決歸一化前檢查sum(N_hist,1)是否全為正用prop N_hist ./ sum(N_hist,1)而不是手動(dòng)循環(huán)維度對(duì)不上會(huì)直接報(bào)錯(cuò)而不是靜默出錯(cuò)。5.5 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)初始年齡結(jié)構(gòu)過(guò)度敏感現(xiàn)象只微調(diào)初始年齡結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期總量就明顯變化。原因如果初始結(jié)構(gòu)和穩(wěn)定結(jié)構(gòu)差得遠(yuǎn)前期會(huì)有較大的瞬態(tài)振蕩這是模型本身的特性不是bug。解決報(bào)告結(jié)果時(shí)區(qū)分短期受初始結(jié)構(gòu)影響大和長(zhǎng)期受生育率存活率主導(dǎo)別把短期波動(dòng)當(dāng)成長(zhǎng)期趨勢(shì)。6. 把Leslie模型做成可復(fù)用的預(yù)測(cè)工具跑通一次不難難的是讓它變成一個(gè)換數(shù)據(jù)就能用、換情景就能比的小工具。我自己的習(xí)慣是把整個(gè)流程拆成三個(gè)函數(shù)prepare_data負(fù)責(zé)讀數(shù)據(jù)和對(duì)齊年齡組build_leslie負(fù)責(zé)構(gòu)造矩陣leslie_run負(fù)責(zé)迭代和輸出。主腳本只做參數(shù)設(shè)定和調(diào)用不摻計(jì)算邏輯。這樣換一個(gè)地區(qū)的數(shù)據(jù)只改prepare_data里的讀取路徑和分組邊界其余不動(dòng)。再進(jìn)一步把情景對(duì)比也封裝起來(lái)。下面這個(gè)函數(shù)接收一組生育率情景返回每個(gè)情景的總量矩陣方便直接畫(huà)包絡(luò)圖function Nt_all leslie_scenarios(pop_f, surv, fert_base, steps, factors) % factors: 情景倍數(shù)向量如 [0.7 1.0 1.3] n_scen numel(factors); Nt_all zeros(steps1, n_scen); for j 1:n_scen [Nt, ~] leslie_run(pop_f, surv, fert_base*factors(j), steps); Nt_all(:, j) Nt(:); end end驗(yàn)證方法上我一般做兩件事。一是拿歷史數(shù)據(jù)回測(cè)用十年前的初始結(jié)構(gòu)和當(dāng)時(shí)的生育率存活率跑十年和實(shí)際人口對(duì)比看偏差在不在可接受范圍。二是做守恒檢查在沒(méi)有生育、存活率全為1的極端設(shè)定下總量應(yīng)該保持不變?nèi)绻兞苏f(shuō)明矩陣構(gòu)造有錯(cuò)。這兩個(gè)檢查花不了多少時(shí)間但能擋掉大部分低級(jí)錯(cuò)誤。一個(gè)具體技巧是給結(jié)果加時(shí)間戳和參數(shù)快照。每次跑完把fert、surv、steps和結(jié)果一起存成.mat文件文件名帶上日期。過(guò)幾個(gè)月回頭看某個(gè)結(jié)論能立刻知道當(dāng)時(shí)用的什么參數(shù)不用靠記憶。這個(gè)習(xí)慣救過(guò)我很多次尤其是當(dāng)同一批數(shù)據(jù)被不同人改過(guò)之后。說(shuō)到底Leslie模型的價(jià)值不在矩陣本身——它簡(jiǎn)單到幾行代碼就能實(shí)現(xiàn)——而在于它逼你把年齡結(jié)構(gòu)、生育率、存活率這些真正決定人口走向的量擺到臺(tái)面上而不是用一條擬合曲線糊弄過(guò)去。參數(shù)怎么設(shè)、情景怎么分、結(jié)果怎么讀這些判斷才是功夫所在。希望幫到你。本文還有配套的精品資源點(diǎn)擊獲取