簡(jiǎn)介這份復(fù)變函數(shù)期末復(fù)習(xí)資料面向數(shù)學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)及工科學(xué)生以五章核心知識(shí)為主線系統(tǒng)梳理復(fù)數(shù)基本概念、解析函數(shù)與柯西-黎曼方程、復(fù)積分、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)和留數(shù)理論并針對(duì)期末高頻題型整理典型例題與解題步驟。資料為docx文檔共1個(gè)文件壓縮包大小約1.55MB方便打印或電子閱讀。內(nèi)容預(yù)覽顯示各章配有詳細(xì)習(xí)題解析例如求復(fù)數(shù)的實(shí)部虛部、輻角與模判斷函數(shù)可導(dǎo)性與解析性區(qū)域計(jì)算沿不同路徑的復(fù)積分以及利用留數(shù)計(jì)算圍道積分并特別提示13、15、18題及收斂半徑求法、留數(shù)定理為重點(diǎn)可幫助讀者快速鎖定復(fù)習(xí)方向。目前已有455人學(xué)習(xí)下載適合考前查漏補(bǔ)缺、掌握關(guān)鍵題型方法。1. 復(fù)變函數(shù)期末復(fù)習(xí)別只會(huì)算模和輻角考官真正想看你如何判斷“解析”很多人翻開(kāi)復(fù)變函數(shù)期末復(fù)習(xí)資料第一反應(yīng)是把公式背熟可真上了考場(chǎng)才發(fā)現(xiàn)計(jì)算題占大頭但拉開(kāi)分?jǐn)?shù)的全是證明題和對(duì)“解析函數(shù)”的理解。這份資料最核心的考點(diǎn)其實(shí)是一條主線復(fù)數(shù)運(yùn)算只是基本功從第二章的柯西-黎曼方程到第五章的留數(shù)定理全都在回答“函數(shù)在什么區(qū)域可導(dǎo)、怎么把積分變成留數(shù)”。適合那些已經(jīng)上完課但做題沒(méi)章法的人也適合考前突擊想快速抓住高頻題的人。下面我會(huì)按考頻和失分點(diǎn)逐個(gè)拆把高頻考點(diǎn)、真題怎么答、哪里最容易錯(cuò)一次說(shuō)清。2. 第一章到第二章復(fù)數(shù)運(yùn)算與解析性判斷考得最細(xì)也最容易丟分2.1 復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛、模、輻角先把基本功寫(xiě)規(guī)范第一章第一道題就是“求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、模、輻角”這類(lèi)題是送分題但每年都有人因?yàn)檩椊嵌嘀敌员豢鄯帧Ｈ魏螐?fù)數(shù)寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式 zabi實(shí)部 a虛部 b共軛復(fù)數(shù)就是 a-bi模是 |z|√(a2b2)輻角則要寫(xiě)全 Arg z arg z 2kπ其中 arg z 是主值通常取在 (-π, π]。很多同學(xué)把答案寫(xiě)成 arg zπ/4 就完事了但題目問(wèn)的是“輻角”正確答案必須帶 2kπ。三角表示和指數(shù)表示是第一章的另一類(lèi)高頻題。對(duì)任意非零復(fù)數(shù) zr(cosθi sinθ)re^(iθ)其中 r|z|θ 是輻角。比如 -1模是 1主輻角是 π所以三角表示是 cosπ i sinπ指數(shù)表示是 e^(iπ)。這里最容易錯(cuò)的是輻角取錯(cuò)-1 對(duì)應(yīng)的是 π不是 -π具體取哪個(gè)要看題目要求的主值區(qū)間。如果題目用 Arg 表示輻角全體則要寫(xiě)成 Arg(-1)π2kπ。第一章第14題“求下列各式的值”通常考的是開(kāi)方和乘方比如求 √i 或 (1i)^n。這類(lèi)題要先用指數(shù)形式表示再根據(jù)輻角的多值性寫(xiě)出 n 個(gè)根。記住公式復(fù)數(shù)開(kāi) n 次方模取 n 次根輻角加上 2kπ/nk0,1,...,n-1。有同學(xué)只寫(xiě)一個(gè)根等于丟掉了其他根這在判卷標(biāo)準(zhǔn)里算漏解。2.2 解析函數(shù)與柯西-黎曼方程可導(dǎo)不等于解析第二章第2題是“指出函數(shù)何處可導(dǎo)、何處解析”第3題是“指出解析性區(qū)域并求導(dǎo)數(shù)”。理解這兩題必須先分清三個(gè)概念在某點(diǎn)可導(dǎo)、在某個(gè)區(qū)域解析、在一點(diǎn)解析。解析的要求比可導(dǎo)嚴(yán)格得多——函數(shù)在 z0 處解析意味著在 z0 的一個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)僅僅在 z0 這一點(diǎn)可導(dǎo)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠?？挛?黎曼方程C-R 方程是判斷解析的核心工具。對(duì)于 f(z)u(x,y)iv(x,y)若 u、v 在區(qū)域 D 內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)則 f 在 D 內(nèi)解析的充要條件是滿足 u_xv_yu_y-v_x。注意第二個(gè)方程是負(fù)號(hào)很多人把符號(hào)記成 u_yv_x一失分就是整道大題全錯(cuò)。判斷完可導(dǎo)點(diǎn)后還要看這個(gè)點(diǎn)周?chē)欠穸紳M足方程才能說(shuō)解析。第二章第9題要求證明 C-R 方程的極坐標(biāo)形式u_r(1/r)v_θv_r-(1/r)u_θ。這類(lèi)證明題有固定套路令 xr cosθyr sinθ用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì) r 和 θ 求偏導(dǎo)再代入直角坐標(biāo)形式的 C-R 方程。推導(dǎo)時(shí)容易漏掉 1/r 這個(gè)因子因?yàn)閷?duì) θ 求導(dǎo)會(huì)多出 r 倍對(duì) r 求導(dǎo)不會(huì)。這個(gè) 1/r 正是極坐標(biāo)里常見(jiàn)的坑。2.3 真題演練證明題與奇點(diǎn)判斷的固定套路第二章的證明題集中在“解析函數(shù)滿足什么條件會(huì)成為常數(shù)”。題目通常給出 f(z)uiv 在區(qū)域 D 內(nèi)解析且滿足類(lèi)似“|f(z)| 在 D 內(nèi)為常數(shù)”或“u 為常數(shù)”的條件。證明思路都是一樣的把條件寫(xiě)成方程利用 C-R 方程把導(dǎo)數(shù)關(guān)系代進(jìn)去推出所有偏導(dǎo)數(shù)為零。以 |f(z)| 為常數(shù)為例設(shè) |f|2u2v2c分別對(duì) x、y 求偏導(dǎo)得到 2uu_x2vv_x0 和 2uu_y2vv_y0。再由 C-R 方程把 v_x、v_y 替換成 u_y、-u_x得到一個(gè)關(guān)于 u 和 v 的矩陣方程。如果 u2v20這個(gè)矩陣可逆推出 u_xu_yv_xv_y0所以 u、v 都是常數(shù)f 是常數(shù)。如果 c0那 f 恒為零也是常數(shù)。這類(lèi)題的關(guān)鍵不是解方程而是寫(xiě)出“換元→聯(lián)立→行列式→全為零”這個(gè)鏈條每步都要有依據(jù)。奇點(diǎn)判斷也是第二章到第五章貫穿的考點(diǎn)。求奇點(diǎn)的本質(zhì)是找函數(shù)不解析的點(diǎn)對(duì)于分式函數(shù)分母等于 0 的點(diǎn)通常是奇點(diǎn)再進(jìn)一步判斷是幾級(jí)極點(diǎn)要看分母因式的重?cái)?shù)。比如 1/(z21)奇點(diǎn)在 z±i且都是一階極點(diǎn)因?yàn)榉帜敢蚴?(z-i)(zi) 各出現(xiàn)一次。教科書(shū)里第13、15、18題被明確標(biāo)注為重點(diǎn)這幾道題恰好覆蓋了“證明解析函數(shù)為常數(shù)”和“求對(duì)數(shù)主值”考前至少要把這三題的完整步驟各默寫(xiě)一遍。3. 第三章 復(fù)積分路徑、柯西積分公式與留數(shù)初體驗(yàn)3.1 復(fù)積分的三種常規(guī)路徑直線段、折線、圓周第三章例3.3和課后第1題幾乎原題考了同一個(gè)模型計(jì)算同一個(gè)被積函數(shù)沿著不同路徑的積分讓你體會(huì)“路徑有關(guān)還是無(wú)關(guān)”。這類(lèi)題的答題流程非常固定先把曲線 C 參數(shù)化成 z(t)然后代入積分公式 ∫_C f(z)dz∫_a^b f(z(t))z(t)dt。最典型的例子是計(jì)算 ∫_C Re z dz從原點(diǎn)到 1i。沿直線段 z(1i)tt∈[0,1]Re ztz1i積分等于 (1i)∫_0^1 t dt(1i)/2。沿折線段先從 0 到 1zt積分 ∫_0^1 t dt1/2再?gòu)?1 到 1iz1itRe z1dzi dt積分 ∫_0^1 i dti。兩段一加結(jié)果是 1/2i和直線路徑完全不同。這說(shuō)明被積函數(shù) Re z 不解析積分依賴路徑。如果換成解析函數(shù)比如 ∫ z dz 從 0 到 1i無(wú)論哪條路徑結(jié)果都是 (1i)2/2i因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)。做這類(lèi)題時(shí)參數(shù)化一定要寫(xiě)“zx(t)iy(t)”的完整表達(dá)式并且把 t 的范圍寫(xiě)清楚。很多同學(xué)只寫(xiě)參數(shù)式不寫(xiě)范圍后半段計(jì)算就會(huì)漏掉積分的上下限。另外注意 dz 的計(jì)算對(duì) t 求導(dǎo)后要帶上 dt不要漏寫(xiě)。3.2 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式適用條件比公式本身更重要柯西積分公式是復(fù)積分的第一大殺器若 f(z) 在正向簡(jiǎn)單閉曲線 C 內(nèi)部解析并連續(xù)到邊界則對(duì) C 內(nèi)任意點(diǎn) a有 f(a)1/(2πi)∮_C f(z)/(z-a)dz。反過(guò)來(lái)就是算積分的公式∮_C f(z)/(z-a)dz2πi f(a)。高階導(dǎo)數(shù)公式則把分母的次數(shù)抬高∮_C f(z)/(z-a)^(n1)dz2πi/n! f^(n)(a)。用這些公式時(shí)第一件事永遠(yuǎn)是檢查奇點(diǎn)是否在曲線內(nèi)部。比如 ∮_{|z|1} e^z/(z-2)dzz2 在單位圓外被積函數(shù)在圓內(nèi)處處解析積分為 0。而 ∮_{|z|1} e^z/(z-0.5)dz0.5 在圓內(nèi)直接等于 2πi e^0.5。觀察法依據(jù)的正是這一點(diǎn)若被積函數(shù)在 C 內(nèi)區(qū)域解析則積分為 0若有形如 1/(z-a) 的因子且 a 在 C 內(nèi)則用柯西積分公式算。第三章第6題“利用觀察法得出下列積分的值C 是正向圓周|z|1”就在考這個(gè)判斷。答題時(shí)要寫(xiě)清楚觀察依據(jù)不能只寫(xiě)答案。判卷時(shí)會(huì)看你是不是真的理解了先寫(xiě)出“因?yàn)楸环e函數(shù)在圓內(nèi)解析”或“因?yàn)?za 是圓內(nèi)唯一奇點(diǎn)”再給結(jié)果。3.3 真題演練沿指定圓周的積分怎么拆第7題“沿指定曲線的正向計(jì)算下列各積分”是真正拉分的題目。以 ∮_{|z|2} sin z/(z21)dz 為例奇點(diǎn)是 z±i都在 |z|2 內(nèi)部。不能直接套最簡(jiǎn)單的柯西積分公式因?yàn)榉帜甘?(z-i)(zi)要先拆成部分分式1/(z21)1/[(z-i)(zi)]。然后分別在兩個(gè)奇點(diǎn)處算留數(shù)或者把它們拆成兩項(xiàng)。在 zi 的鄰域(z-i) 項(xiàng)可以約掉留下 sin z/(zi) 在 zi 的值即 sin i/(2i)。在 z-i 同理留數(shù)為 sin(-i)/(-2i)sin i/(2i)。兩個(gè)留數(shù)相加得 sin i/i由于 sin ii sinh1結(jié)果是 sinh1。按留數(shù)定理積分等于 2πi 乘以這個(gè)和即 2πi sinh1。這類(lèi)題最容易錯(cuò)的是漏掉某個(gè)內(nèi)部奇點(diǎn)只要曲線把奇點(diǎn)包住了就必須把它算進(jìn)來(lái)不能只看分母在實(shí)軸上的零點(diǎn)。第三章第8、9題還會(huì)考到結(jié)合調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)這是第七節(jié)的重點(diǎn)。給定調(diào)和函數(shù) u(x,y)求 v(x,y) 使得 fuiv 解析方法是用 C-R 方程。先由 v_yu_x 對(duì) y 積分得到 v 的表達(dá)式含待定函數(shù) φ(x)再由 v_x-u_y 求 φ(x)最后積分得到 φ(x)。注意積分時(shí)常數(shù)項(xiàng)要寫(xiě)完整第二問(wèn)往往還要求 f(z) 的表達(dá)式需要把 x、y 換回 z 和 z? 的組合。4. 第四章與第五章級(jí)數(shù)展開(kāi)、收斂半徑與留數(shù)定理拿分大戶4.1 冪級(jí)數(shù)收斂半徑的三種求法比值、根值、看奇點(diǎn)第四章第6題專(zhuān)門(mén)考冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。資料里明確標(biāo)注“重點(diǎn)看一下收斂半徑的求法書(shū)上 112 頁(yè)”說(shuō)明這是必考題型。最常用的是比值法對(duì)冪級(jí)數(shù) ∑a_n z^n若極限 lim|a_n/a_{n1}| 存在則收斂半徑 R 等于該極限。注意是“前一項(xiàng)比后一項(xiàng)”不要寫(xiě)反。另一種是根值法R1/lim sup |a_n|^(1/n)。兩種方法結(jié)果一致但計(jì)算復(fù)雜度不同看到階乘或 n 次冪優(yōu)先想到比值法。舉個(gè)例子級(jí)數(shù) ∑ z^n/na_n1/n|a_n/a_{n1}|(1/n)/(1/(n1))(n1)/n→1所以 R1?？墒鞘諗堪霃街徽f(shuō)明 |z|1 絕對(duì)收斂、|z|1 發(fā)散邊界上的情況要單獨(dú)判斷z1 時(shí)級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散z-1 時(shí)是交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)條件收斂。很多同學(xué)把 R1 等同于“邊界上全都收斂”這就錯(cuò)了。記憶口訣圓內(nèi)必絕對(duì)收斂圓外必發(fā)散圓周上逐個(gè)算。另一種求收斂半徑的間接方法是“到最近奇點(diǎn)的距離”。比如 1/(1-z) 在 z0 處展開(kāi)最近的奇點(diǎn)是 z1距離是 1所以收斂半徑 R1。這種方法尤其適用于已經(jīng)會(huì)展開(kāi)的常見(jiàn)函數(shù)比死算系數(shù)更快。4.2 Taylor 與 Laurent 展開(kāi)展開(kāi)點(diǎn)、圓環(huán)域與收斂半徑第四章第11、12、16題把級(jí)數(shù)展開(kāi)分成三類(lèi)在 z0 附近展開(kāi)成 z 的冪級(jí)數(shù)在指定點(diǎn) z0 處展開(kāi)成 Taylor 級(jí)數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成 Laurent 級(jí)數(shù)。Taylor 展開(kāi)的核心是記住常見(jiàn)展開(kāi)式e^z∑ z^n/n!其收斂半徑是無(wú)窮大1/(1-z)∑ z^n收斂半徑是 1sin z、cos z 的展開(kāi)式也要背熟。在 z0 處展開(kāi)時(shí)先做變量替換 wz-z0然后用已知展開(kāi)式替換。Laurent 級(jí)數(shù)是在圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)允許出現(xiàn)負(fù)冪項(xiàng)。經(jīng)典考題是把 1/[(z-1)(z-2)] 在圓環(huán) 1|z|2 內(nèi)展開(kāi)。處理技巧是先拆部分分式1/[(z-1)(z-2)] 1/(z-2) - 1/(z-1)。然后分別在對(duì)應(yīng)區(qū)域展開(kāi)在 |z|2 內(nèi)1/(z-2) -1/2 · 1/(1-z/2) -∑ z^n/2^(n1)該部分只在 |z|2 收斂在 |z|1 內(nèi)1/(z-1) 1/z · 1/(1-1/z) ∑ z^(-n-1)該部分只在 |z|1 收斂。合起來(lái)就是完整的 Laurent 展開(kāi)。注意每一部分的收斂域要寫(xiě)清楚否則別人看不出你為什么這么展開(kāi)。Laurent 展開(kāi)的另一大用途是找本性奇點(diǎn)的留數(shù)——z^-1 項(xiàng)的系數(shù)就是留數(shù)。比如 e^(1/z) 在 z0 的展開(kāi)是 1 1/z 1/(2!z2)...z^-1 項(xiàng)系數(shù)是 1所以 0 點(diǎn)留數(shù)是 1。這個(gè)關(guān)聯(lián)是第五章的橋梁。4.3 留數(shù)的計(jì)算極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)與洛必達(dá)第五章第8題“求函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)”有直接公式若 z0 是 f(z) 的一階極點(diǎn)且 f(z)p(z)/q(z)p(z0)≠0q(z0)0q(z0)≠0則 Res[f,z0]p(z0)/q(z0)。對(duì)于 m 階極點(diǎn)留數(shù)是 1/(m-1)! 乘以 [(z-z0)^m f(z)] 的 (m-1) 階導(dǎo)數(shù)在 z0 處的值。使用公式前先判斷極點(diǎn)的級(jí)這一步是很多人的失分點(diǎn)級(jí)數(shù)判斷錯(cuò)了后面的留數(shù)全錯(cuò)。判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法是看分母因式對(duì) f(z)1/[(z-1)2(z1)]z1 是二級(jí)極點(diǎn)z-1 是一級(jí)極點(diǎn)。計(jì)算 z1 處的留數(shù)時(shí)要算 g(z)(z-1)2f(z)1/(z1) 的導(dǎo)數(shù)即 g(z)-1/(z1)2在 z1 處取 -1/4再除以 1!所以留數(shù)是 -1/4。有同學(xué)圖省事直接用一階極點(diǎn)公式結(jié)果完全不對(duì)。遇到極點(diǎn)級(jí)數(shù)大于 1一定老老實(shí)實(shí)先約分再求導(dǎo)。本性奇點(diǎn)的留數(shù)不能用極點(diǎn)公式但可以通過(guò) Laurent 展開(kāi)求 c_{-1}。比如 f(z)z2 sin(1/z)要展開(kāi) sin(1/z)1/z - 1/(6z3)...乘以 z2 后得到 z - 1/(6z)...所以 c_{-1}-1/6。這類(lèi)題在期末里屬于中上難度但只要記住“本性奇點(diǎn)看展開(kāi)”就不會(huì)慌。如果題目里出現(xiàn) 0/0 型極限可以直接用洛必達(dá)法則輔助求留數(shù)。以 f(z)sin z/z2 在 z0 為例它不是極點(diǎn)而是本性奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)展開(kāi) sin zz-z3/6...除以 z2 得 1/z - z/6...所以 z0 是一階極點(diǎn)留數(shù) 1。這里洛必達(dá)法則派不上用場(chǎng)但展開(kāi)法更可靠。4.4 真題演練用留數(shù)定理算積分留數(shù)定理是第五章的核心若 f(z) 在正向簡(jiǎn)單閉曲線 C 內(nèi)除有限個(gè)奇點(diǎn)外解析在 C 上解析則 ∮_C f(z)dz2πi∑Res[f,內(nèi)部奇點(diǎn)]。使用步驟永遠(yuǎn)三步找出曲線內(nèi)的所有奇點(diǎn)計(jì)算每個(gè)奇點(diǎn)的留數(shù)求和后乘以 2πi。每一步都要寫(xiě)清楚不要跳步。典型題 ∮_{|z|2} 1/(z21)dz奇點(diǎn)是 ±i都在圓內(nèi)。分別求留數(shù)zi 處 Res1/(2i)-i/2z-i 處 Res1/(-2i)i/2。兩個(gè)留數(shù)之和是 0所以積分為 0。這個(gè)結(jié)果反直覺(jué)很多同學(xué)算出 0 后不敢寫(xiě)反復(fù)檢查是不是算錯(cuò)了。其實(shí)這恰恰是考點(diǎn)留數(shù)定理算的是代數(shù)和對(duì)稱奇點(diǎn)的貢獻(xiàn)可以相消。再比如 ∮_{|z|3} sin z/z2 dzz0 在內(nèi)部展開(kāi) sin z/z21/z - z/6...留數(shù) c_{-1}1積分等于 2πi。也可以通過(guò)高階導(dǎo)數(shù)公式驗(yàn)證∮ sin z/z2 dz 2πi · (sin z)|_{z0}2πi · cos02πi。兩種方法殊途同歸。資料里專(zhuān)門(mén)強(qiáng)調(diào)“留數(shù)的計(jì)算和定理書(shū)上 153-162 頁(yè)”這幾頁(yè)至少有兩個(gè)選擇填空和一個(gè)大題的量考前必須把書(shū)上的習(xí)題全部過(guò)一遍。5. 易錯(cuò)題與失分點(diǎn)五個(gè)常見(jiàn)的翻車(chē)現(xiàn)場(chǎng)5.1 三個(gè)必考的計(jì)算細(xì)節(jié)輻角、留數(shù)符號(hào)、積分方向第一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是輻角范圍混淆。錯(cuò)在把“輻角”直接寫(xiě)成主值不寫(xiě) 2kπ。比如求 1 的輻角有人只寫(xiě) 0但正確答案是 2kπ。為什么錯(cuò)題目用“輻角”時(shí)表示多值集合用“主值”時(shí)才是一個(gè)確定的數(shù)。怎么答對(duì)先寫(xiě) Arg z arg z 2kπ再注明主值范圍。如果題目問(wèn)主輻角就只寫(xiě)主值如果問(wèn)輻角必須帶 k∈Z。第二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是留數(shù)的符號(hào)。錯(cuò)在計(jì)算 1/(z21) 在 z-i 處的留數(shù)時(shí)寫(xiě)成 -i/2正確是 i/2。為什么錯(cuò)分母求導(dǎo)后得到 2z在 z-i 處是 -2i1/(-2i)i/2負(fù)號(hào)處理漏掉。怎么答對(duì)養(yǎng)成代入前先檢查 z0 符號(hào)的習(xí)慣用 p/q 公式時(shí)把 z0 完整帶入不要心算?；蛘咧苯佑脴O限 (z-z0)f(z)約分后代入能減少符號(hào)錯(cuò)誤。第三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是積分方向。錯(cuò)在閉曲線是負(fù)向順時(shí)針時(shí)還直接用留數(shù)定理。為什么錯(cuò)留數(shù)定理的前提是正向負(fù)向要加負(fù)號(hào)。怎么答對(duì)拿到題第一件事標(biāo)方向題目寫(xiě)“正向圓周”就直接用如果沒(méi)說(shuō)通常默認(rèn)正向。凡是題目寫(xiě)“取正向”的必須檢查是不是逆時(shí)針。5.2 兩個(gè)概念判斷的失分點(diǎn)可導(dǎo)與解析、C-R 方程條件第四個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是把“在某點(diǎn)可導(dǎo)”等同于“在某點(diǎn)解析”。錯(cuò)在比如 f(z)|z|2 在 z0 可導(dǎo)就斷言它解析。為什么錯(cuò)解析要求在 0 的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)而 |z|2 只有原點(diǎn)滿足 C-R 方程。怎么答對(duì)先用 C-R 方程求出所有可導(dǎo)點(diǎn)再判斷這些點(diǎn)是否有鄰域全部可導(dǎo)?？蓪?dǎo)點(diǎn)是孤立的就不是解析。第五個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是只用 C-R 方程不驗(yàn)證偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。錯(cuò)在已知 u、v 偏導(dǎo)存在且滿足 C-R 方程就直接下結(jié)論說(shuō)解析。為什么錯(cuò)教科書(shū)中 C-R 方程是充分必要條件的前提是“u、v 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)”。很多課本習(xí)題默認(rèn)給出這個(gè)條件但證明題里你必須寫(xiě)出來(lái)。怎么答對(duì)答題時(shí)先寫(xiě)一句“因?yàn)?u、v 在 D 內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)”再寫(xiě)“因此充要條件是 C-R 方程成立”。多寫(xiě)這句話不扣分少寫(xiě)可能被扣步驟分。6. 答題技巧與押題思路考前這樣刷這份資料最有效6.1 先背公式清單再攻克標(biāo)注的“重點(diǎn)題”這份資料里反復(fù)出現(xiàn)“13、15、18 題重點(diǎn)看一下”“重點(diǎn)看一下三道例題和第七節(jié)知識(shí)點(diǎn)”“重點(diǎn)看一下收斂半徑的求法書(shū)上 112 頁(yè)、留數(shù)的計(jì)算和定理書(shū)上 153-162 頁(yè)”。這些不是客套話而是出題人劃的重點(diǎn)?？记暗谝患虏皇菑念^到尾做新題而是把資料里用“注”標(biāo)注的題目原題再做一遍邊做邊在旁邊默寫(xiě)對(duì)應(yīng)的公式C-R 方程、極坐標(biāo) C-R、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)一階極點(diǎn)公式、常見(jiàn)展開(kāi)式。把這些公式壓縮成一張 A4 紙每天起床后默寫(xiě)一遍直到不會(huì)卡殼。6.2 考場(chǎng)答題的固定模板計(jì)算復(fù)積分的大題永遠(yuǎn)按三步答第一步畫(huà)出或?qū)懗銮€ C標(biāo)出正向第二步列出曲線內(nèi)部的所有奇點(diǎn)逐一判斷類(lèi)型并求留數(shù)第三步套留數(shù)定理寫(xiě)出 2πi 乘以留數(shù)和。證明解析函數(shù)為常數(shù)的題永遠(yuǎn)按“設(shè)條件式→求偏導(dǎo)→代入 C-R→矩陣或方程聯(lián)立→偏導(dǎo)全為零→常函數(shù)”的鏈條答最后一步不要省。求 Lauranet 展開(kāi)的題先寫(xiě)出收斂域再寫(xiě)“因?yàn)椤蹦巢糠挚烧归_(kāi)成什么逐項(xiàng)寫(xiě)不要直接給最終結(jié)果步驟分占大頭。6.3 押題方向根據(jù)考頻押三個(gè)方向一是極坐標(biāo)形式的 C-R 方程證明或應(yīng)用二是柯西積分公式計(jì)算含分母一次冪的圓周積分三是利用 Laurent 展開(kāi)求圓環(huán)域內(nèi)積分或留數(shù)。此外“解析函數(shù)模為常數(shù)則函數(shù)為常數(shù)”幾乎是證明題的標(biāo)配?？记鞍堰@幾道題各做兩遍比刷十套新卷更有用。我從第一次考復(fù)變掛科后就再也不信“看懂答案”了每次考前都強(qiáng)制自己合上資料把公式清單默寫(xiě)一遍再把標(biāo)注重點(diǎn)的題按答題模板重新寫(xiě)一次。那一次過(guò)后眼里不再有“這道題沒(méi)見(jiàn)過(guò)”而是“這道題屬于哪個(gè)模板”。希望幫到你。本文還有配套的精品資源點(diǎn)擊獲取